Hi Sam! Jeder Graph ist ein Faden. Hier lernst du, seinen Lauf zu lesen: woher er kommt, wohin er geht, wo er die y-Achse kreuzt und wo er durch die x-Achse sticht.
Der ganze Faden auf einen Blick
Alles, was in der Klassenarbeit drankommt, steckt in einer einzigen Funktion. Zeig auf eine der vier Erklärungen (am Handy: einmal antippen) – dann siehst du, welcher Teil der Gleichung welche Stelle im Graphen bestimmt. Ein Klick darauf bringt dich zur passenden Station.
f(x) = 0,5x3 − x2 − 2,5x+ 3
Dein Plan bis Freitag
Die sechs Stationen
Gesamt: 0 %
Jede richtig gelöste Aufgabe ist ein Stich. Die goldene Naht ganz oben zeigt, wie weit du insgesamt bist. Dein Fortschritt bleibt in diesem Browser gespeichert.
01
Station 1 von 6 die Grundschnitte
Potenzfunktionen
KernsatzBei f(x) = a*x^n entscheidet der Exponent über die Form: gerade heißt U-Form, ungerade heißt S-Form. Der Vorfaktor a streckt, staucht oder spiegelt nur.
Nach dieser Station kannst du …
die Graphen von x^2, x^3, x^4 … erkennen und skizzieren
die Symmetrie direkt am Exponenten ablesen
beschreiben, was der Vorfaktor a bewirkt
a aus einem Punkt berechnen
Entdecken
Das Potenz-Labor
Wie in der Schneiderei: x^n ist der Grundschnitt, a verändert nur die Weite. Klick dich durch die Exponenten, fahr mit der Maus über den Graphen und beobachte, was immer gleich bleibt.
Exponent n – volle Kreise sind gerade, gestrichelte ungerade
Entdecken
Warum hohe Potenzen erst flacher und dann steiler sind
An dieser Frage versteht man Potenzfunktionen wirklich. Schieb x und beobachte, was wiederholtes Malnehmen mit Zahlen unter 1 und über 1 macht.
gerade Exponentenungerade Exponenten
Verstehen
Zwei Familien und ein Vorfaktor
Gerader Exponent
U-Form wie eine Schale: x^2, x^4, x^6
achsensymmetrisch zur y-Achse
alle gehen durch (-1|1), (0|0), (1|1)
beide Enden zeigen nach oben
Ungerader Exponent
S-Form: x, x^3, x^5
punktsymmetrisch zum Ursprung
alle gehen durch (-1|-1), (0|0), (1|1)
von links unten nach rechts oben
Der Vorfaktor a
|a| > 1: gestreckt, im Bild rot 2x^2
|a| < 1: gestaucht, im Bild blau 0,5x^2
a < 0: an der x-Achse gespiegelt – wie auf links gedreht, im Bild gold -x^2
Üben
Trainieren
02
Station 2 von 6 die Pose
Globalverhalten
KernsatzWeit draußen zählt nur der Term mit der höchsten Potenz – der Chef-Term. Sein Grad und sein Vorzeichen bestimmen, woher der Graph kommt und wohin er geht.
Nach dieser Station kannst du …
den Chef-Term finden, auch wenn er versteckt ist
jede Funktion einer der vier Posen zuordnen
das Ergebnis mit x -> ±∞ sauber aufschreiben
begründen, warum die anderen Terme egal sind
Entdecken
Experiment 1: Rauszoomen
Nimm eine Funktion und zoom immer weiter heraus. Die gestrichelte Linie ist nur der Chef-Term. Irgendwann kannst du die beiden nicht mehr auseinanderhalten.
Funktion wählen
oder eigene eingeben
Entdecken
Experiment 2: Das Term-Mischpult
Wie beim Tonmischen: Jeder Term ist eine eigene Spur. Dreh x hoch und schau, welche Spur alle anderen übertönt. Es ist dieselbe Funktion wie oben.
Verstehen
Die vier Posen
Denk an die Gliederpuppe aus dem Zeichenunterricht. Ihr linker Arm zeigt, wohin der Graph links läuft (x -> -∞), ihr rechter Arm, wohin er rechts läuft (x -> +∞). Der goldene Faden in ihren Händen ist ein typischer Graph dazu.
Grad des Chef-Terms
Vorzeichen davor
Drei Merkregeln
Gerader Grad: Arme parallel – beide hoch oder beide runter. Wie bei x^2.
Ungerader Grad: Arme gegengleich – einer hoch, einer runter. Wie bei x^3.
Minus vor dem Chef-Term: Die ganze Pose kippt. Alles, was oben war, ist unten.
Verstehen
So schreibst du es in der Arbeit auf
Beispiel: f(x) = 3x^2 - 2x^5 + 1
1. Chef-Term suchen: -2x^5 (höchste Potenz, auch wenn er in der Mitte steht).
2. Grad 5 ist ungerade, Leitkoeffizient -2 ist negativ. Also: links hoch, rechts runter.
3. Aufschreiben:
Für x -> -∞ gilt f(x) -> +∞. Für x -> +∞ gilt f(x) -> -∞.
Manche schreiben auch lim f(x) = -∞ mit x -> +∞ unter dem lim. Das bedeutet genau dasselbe.
Stolperfallen
Karten umdrehen
Erst selbst überlegen, dann antippen.
Versteckter Chef
f(x) = 3x^2 - 2x^5 + 1 Wer bestimmt das Globalverhalten?
Antippen zum Umdrehen
Nur -2x^5. Chef ist der Term mit der höchsten Potenz – egal, wo er in der Zeile steht. Grad 5, negativ: links hoch, rechts runter.
Klammern
f(x) = (x - 1)(x + 2)(3 - x) Muss ich ausmultiplizieren?
Antippen zum Umdrehen
Nein. Nimm nur die x-Teile mit Vorzeichen: x * x * (-x) = -x^3. Grad 3, negativ: links hoch, rechts runter.
Große Zahlen
f(x) = x^4 - 1000x^3 Gewinnt nicht die 1000?
Antippen zum Umdrehen
Nur eine Weile. Bei x = 10000 ist x^4 zehnmal so groß wie 1000x^3. Die höhere Potenz gewinnt immer – irgendwann.
Klammer oder nicht
-x^4 und (-x)^4 – ist das dasselbe?
Antippen zum Umdrehen
Nein!-x^4 heißt -(x^4): Leitkoeffizient -1, beide Enden unten. (-x)^4 = x^4: beide Enden oben.
Üben
Posen-Trainer
03
Station 3 von 6 die Mittelnaht
Schnittpunkt mit der y-Achse
KernsatzAuf der y-Achse ist x = 0. Also setzt du 0 ein – übrig bleibt die Zahl ohne x. Das ist der Punkt S_y(0|f(0)).
Nach dieser Station kannst du …
S_y in Sekunden aus der Normalform ablesen
S_y auch bei Klammern berechnen
den Punkt richtig notieren
erklären, warum es immer genau einen gibt
Entdecken
Das Null-Experiment
Die y-Achse ist die Mittelnaht des Koordinatensystems. Schieb x Richtung 0 und sieh zu, welche Terme dabei wegfallen – und welcher als einziger übrig bleibt.
Verstehen
Vier Formen, ein Trick
Normalform
f(x) = 2x^3 - 3x + 4
Die Zahl ohne x ablesen: S_y(0|4)
Reihenfolge vertauscht
f(x) = 7 - x^2 + 3x^4
Die Zahl ohne x steht nicht immer hinten: S_y(0|7)
Keine Zahl ohne x
f(x) = x^3 - 2x
Dann ist f(0) = 0 – der Graph geht durch den Ursprung: S_y(0|0)
Produktform
f(x) = 2(x - 1)(x + 3)
0 in jede Klammer: f(0) = 2 * (-1) * 3 = -6, also S_y(0|-6)
Stolperfalle Schreibweise
S_y(0|4) – nicht (4|0)! Im Punkt steht immer erst x, dann y. Auf der y-Achse ist x = 0, also steht die 0 vorne.
Immer genau einer
Ein Funktionsgraph kreuzt die y-Achse genau einmal, denn zu x = 0 gehört genau ein y-Wert. Nullstellen dagegen kann es mehrere geben – oder keine.
Üben
Blitzrunde
04
Station 4 von 6 der Zuschnitt
Nullstellen mit Polynomdivision
KernsatzEine Nullstelle raten, mit der Polynomdivision abspalten, den Rest mit der pq-Formel lösen. Zum Schluss: Probe – der Rest muss 0 sein.
Nach dieser Station kannst du …
Kandidaten für Nullstellen finden und testen
die Polynomdivision im Vier-Schritt-Takt
den Rest mit der pq-Formel lösen
die Linearfaktorzerlegung angeben
Verstehen
Worum es geht: die Einstiche
Nullstellen sind die x-Werte mit f(x) = 0 – die Stellen, an denen der Faden durch die x-Achse sticht.
Bei Grad 1 stellst du um, bei Grad 2 nimmst du die pq-Formel. Für Grad 3 gibt es in der Schule keine fertige Formel.
Der Trick: Du rätst eine Nullstelle x_1 und schneidest den passenden Faktor (x - x_1) ab. Übrig bleibt ein Rest mit Grad 2 – und den kannst du.
x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x^2 - x - 6)
Die Funktion ist ein Produkt aus der Geraden x - 1 (blau) und der Parabel x^2 - x - 6 (gold). Ein Produkt ist 0, sobald ein Faktor 0 ist – der Satz vom Nullprodukt. Deshalb liegen die Einstiche genau dort, wo Gerade oder Parabel die x-Achse treffen.
Verstehen
Welche Methode wann?
Grad 1
Nach x umstellen
2x - 6 = 0 ergibt x = 3
Grad 2
pq-Formel
x^2 - x - 6 = 0
Grad 3 ohne Zahl ohne x
x ausklammern
x^3 - 4x = x(x^2 - 4)
Grad 3 mit Zahl ohne x
Raten und Polynomdivision
x^3 - 2x^2 - 5x + 6
Verstehen
Du kannst das schon: schriftlich dividieren
Die Polynomdivision ist die schriftliche Division aus der Grundschule – nur mit x statt Ziffern. Vergleiche den Takt links und rechts.
Mit Zahlen
1353: 11 = 123−1125−2233−330
Mit x
Gleicher Takt: teilen, malnehmen, abziehen, runterholen. Und der Clou: Setz x = 10 ein. Dann wird aus x^3 + 3x^2 + 5x + 3 die Zahl 1353, aus x + 1 die 11 und aus x^2 + 2x + 3 die 123.
Anwenden
Die Werkbank: ein Beispiel komplett
Wähle ein Beispiel und geh die vier Schritte genau so durch, wie du sie in der Klassenarbeit aufschreibst.
Schritt 1: Eine Nullstelle raten
Ganzzahlige Nullstellen sind immer Teiler der Zahl ohne x, hier . Probier sie durch – mit Plus und Minus.
Schritt 2: Polynomdivision im Nähmaschinen-Takt
Tipp: Mit den Pfeiltasten links und rechts kannst du auch blättern.
Schritt 3: pq-Formel für den Rest
Schritt 4: Alle Nullstellen
Stolperfallen
Die sechs häufigsten Fehler
Erst selbst überlegen, dann antippen.
Lücke im Term
x^3 - 7x + 6 – was fehlt beim Aufschreiben?
Antippen zum Umdrehen
Die fehlende Potenz mit 0: x^3 + 0x^2 - 7x + 6. Sonst stehen beim Abziehen die falschen Terme untereinander.
Beim Abziehen
Was passiert mit -(-x^2 + x)?
Antippen zum Umdrehen
Jedes Vorzeichen dreht sich um: +x^2 - x. Hier passieren die meisten Fehler – also langsam machen.
Der richtige Teiler
Nullstelle x = -2. Durch was teilst du?
Antippen zum Umdrehen
Durch (x + 2). Der Teiler heißt immer (x - Nullstelle), und x - (-2) = x + 2.
Rest nicht 0
Am Ende bleibt Rest 4. Und jetzt?
Antippen zum Umdrehen
Dann war die geratene Zahl keine Nullstelle – oder es steckt ein Rechenfehler drin. Probe machen: Ist f(x_1) wirklich 0?
pq-Formel
2x^2 + 4x - 6 = 0 direkt einsetzen?
Antippen zum Umdrehen
Erst normieren, also durch 2 teilen: x^2 + 2x - 3 = 0. Dann p = 2 und q = -3.
Unnötige Arbeit
x^3 - 4x = 0 – raten und dividieren?
Antippen zum Umdrehen
Nicht nötig: x ausklammern, x(x^2 - 4) = 0. Also x = 0 oder x^2 = 4, d. h. x = 2 oder x = -2.
Üben
Werkstatt: Jetzt dividierst du selbst
Neue Funktion, du rechnest jeden Schritt. Die Werkstatt prüft sofort und sagt dir genau, wo es hakt – Vorzeichenfehler erkennt sie extra.
Anwenden
Kontroll-Werkbank für deine Hausaufgaben
Gib eine beliebige Funktion und deine geratene Nullstelle ein. Du bekommst die komplette Division zum Vergleichen mit deinem Heft.
05
Station 5 von 6 die Anprobe
Graph skizzieren
KernsatzGlobalverhalten, y-Achsenabschnitt und Nullstellen sind das Gerüst. Dann ziehst du den Faden in einem Zug hindurch – ganz ohne Wertetabelle.
Nach dieser Station kannst du …
in vier Schritten eine Skizze anfertigen
einfache und doppelte Nullstellen unterscheiden
Normalform und Produktform skizzieren
Verstehen
Glatt durch oder nur angetippt?
Wie der Faden eine Nullstelle passiert, verrät die Hochzahl ihrer Klammer. Das kennst du aus Station 01: In der Nähe der Nullstelle sieht (x - r)^k aus wie x^k.
Einfach: (x - r)
Der Faden sticht glatt durch – wie bei x.
Doppelt: (x - r)^2
Der Faden tippt die x-Achse nur an und dreht um – wie bei x^2.
Dreifach: (x - r)^3
Er sticht durch, aber mit flachem Sattel – wie bei x^3.
Anwenden
Das Anprobe-Studio
Erarbeite die drei Marken. Dann zeichnest du den Graphen mit Finger oder Maus. Zum Schluss legen wir den echten Graphen darüber und messen die Passform.
06
Station 6 von 6 der Laufsteg
Generalprobe
KernsatzEinmal alles am Stück, wie in der echten Arbeit – mit Stift und Papier. Danach die Lösungen aufdecken und ehrlich abhaken.
So nutzt du die Probe
Stoppuhr starten und alles auf Papier rechnen
erst danach die Lösungen aufdecken
Punkte abhaken und Lücken in der passenden Station nacharbeiten
jede Probe ist neu – mach ruhig zwei
✂
Alles auf einer Seite für Freitag früh
Spickzettel
01Potenzfunktionen f(x) = a*x^n
n gerade: U-Form, achsensymmetrisch
n ungerade: S-Form, punktsymmetrisch
alle gehen durch (0|0) und (1|a)
|a| > 1 gestreckt, |a| < 1 gestaucht, a < 0 gespiegelt (rot im Bild)
a aus Punkt: einsetzen und umstellen
02Globalverhalten
Nur der Chef-Term (höchste Potenz) zählt.
Leitkoeffizient positiv
Leitkoeffizient negativ
Grad gerade
links oben, rechts oben
links unten, rechts unten
Grad ungerade
links unten, rechts oben
links oben, rechts unten
Schreibweise: Für x -> -∞ gilt f(x) -> +∞. Bei Klammern: nur die x-Teile multiplizieren.
03y-Achsenabschnitt
x = 0 einsetzen: S_y(0|f(0))
Normalform: Zahl ohne x ablesen
keine Zahl ohne x: S_y(0|0)
Produktform: 0 in jede Klammer, dann multiplizieren
die 0 steht vorne!
04Nullstellen bei Grad 3
Teiler der Zahl ohne x testen, bis f(x_1) = 0
teilen durch (x - x_1): teilen, malnehmen, abziehen, runterholen